Question

設(shè)數(shù)列{a_n}：a₀=2，a₁=16，a_n+2=16a_n+1-63a_n，n∈N^*，則a₂₀₀₅被64除的余數(shù)為（　�。�

• A、0
• B、2
• C、16
• D、48

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：將a_n+2=16a_n+1-63a_n化為a_n+2-7a_n+1=9a_n+1-63a_n，或a_n+2-9a_n+1=7a_n+1-63a_n，從而根據(jù)等比數(shù)列的定義可得{a_n-7a_n-1}，{a_n-9a_n-1}是等比數(shù)列，然后求出a_n的通項(xiàng)公式，用多項(xiàng)式展開(kāi)后得出結(jié)果．

解答： 解：∵a_n+2=16a_n+1-63a_n，
∴a_n+2-7a_n+1=9a_n+1-63a_n，或a_n+2-9a_n+1=7a_n+1-63a_n
即a_n+2-7a_n+1=9（a_n+1-7a_n），或a_n+2-9a_n+1=7（a_n+1-9a_n），
又∵a₀=2，a₁=16，
∴{a_n-7a_n-1}是首項(xiàng)為2，公比為9的等比數(shù)列，
{a_n-9a_n-1}是首項(xiàng)為-2，公比為7的等比數(shù)列．
∴a_n+1-7a_n=2•9ⁿ，
a_n+1-9a_n=-2•7ⁿ．
聯(lián)立上述兩式解得，
an=9n+7n，
a2005=92005+72005
=（8+1）²⁰⁰⁵+（8-1）²⁰⁰⁵
=2(

C

0 2005

82005+

C

2 2005

82003+…+8)，
∴上式中除最后一項(xiàng)8之外都是64的倍數(shù)，
∴a₂₀₀₅被64除的余數(shù)為2×8=16．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞推式的轉(zhuǎn)化，等比數(shù)列的定義和多項(xiàng)展開(kāi)式的靈活應(yīng)用．屬于中檔題．