已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
2
2
,橢圓C上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)F距離的最小值與最大值之積為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線l過(guò)橢圓C內(nèi)一點(diǎn)M(m,0),與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn).對(duì)給定的m值,若存在直線l及直線母x=-2上的點(diǎn)N,使得△PNQ的垂心恰為點(diǎn)F,求m的取值范圍.
(1)由條件得
c
a
=
2
2
(a+c)(a-c)=1
,解得a=
2
,b=c=1
∴橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1

(2)由條件知,F(xiàn)(-1,0),-
2
<m<
2

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),N(-2,y1),則由
λy=x-m
x2
2
+y2=1
得(λ2+2)y2+2λmy+m2-2=0,
-
2
<m<
2
知△>0恒成立,且y1+y2=-
2λm
λ2+2
,y1y2=
m2-2
λ2+2

由PQ⊥NF得y1=λ,(1)
由NQ⊥PF得
y2-y1
x2+2
×
y1
x1+1
=-1
,(2)
由(1)(2)式化簡(jiǎn)得,(λ2+1)y1y2+λ(m+1)(y1+y2)+(m+1)(m+2)=0
化簡(jiǎn)得,mλ2=-(3m2+6m+2)(顯然m≠0),
由λ2≥0,-
2
<m<
2
得,解得
3
-3
3
≤m<0

∴m的取值范圍[
3
-3
3
,0
).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率e=
5
5
,過(guò)F1的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn),且△MNF2的周長(zhǎng)為4
5

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)AB是過(guò)橢圓E中心的任意弦,P是線段AB的垂直平分線與橢圓E的一個(gè)交點(diǎn),求△APB面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C1:2x2-y2=1.
(1)過(guò)C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線,求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積;
(2)設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點(diǎn),若l與圓x2+y2=1相切,求證:OP⊥OQ;
(3)設(shè)橢圓C2:4x2+y2=1,若M、N分別是C1、C2上的動(dòng)點(diǎn),且OM⊥ON,求證:O到直線MN的距離是定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知拋物線C:y2=x,直線l:y=k(x-1)+1,要使拋物線C上存在關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

直線l過(guò)x軸上的點(diǎn)M,l交橢圓
x2
8
+
y2
4
=1
于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若M的坐標(biāo)為(2,0),當(dāng)OA⊥OB時(shí),求直線l的方程;
(2)若M的坐標(biāo)為(1,0),設(shè)直線l的斜率為k(k≠0),是否存直線l,使得l垂直平分橢圓的一條弦?如果存在,求k的取值范圍;如果不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,
3
2
)

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)F1的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),問(wèn)在橢圓C上是否存在一點(diǎn)M,使四邊形AMBF2為平行四邊形,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

若直線y=kx+2與曲線y=
x2-1
,|x|>1
1-x2
,|x|≤1
恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則k∈______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知圓的方程為x2+y2=4,過(guò)點(diǎn)M(2,4)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為A1、A2,直線A1A2恰好經(jīng)過(guò)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線x=-1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn),直線AP、BP分別交定直線l:x=-4于兩點(diǎn)Q、R,求證
OQ
OR
為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知直線l與橢圓
x2
36
+
y2
9
=1
交于A和B兩點(diǎn),點(diǎn)(4,2)是線段AB的中點(diǎn),則直線l的方程是______.

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