Question

5．已知直線l在直角坐標系xOy中的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=a+tcosθ\\ y=tsinθ\end{array}\right.（t$為參數，θ為傾斜角），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，在極坐標系中，曲線的方程為ρ-ρcos²θ-4cosθ=0．
（1）寫出曲線C的直角坐標方程；
（2）點Q（a，0），若直線l與曲線C交于A、B兩點，求使$\frac{1}{{{{|{QA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{QB}|}^2}}}$為定值的值．

Answer 1

分析 （1）極坐標方程兩邊同乘ρ，根據極坐標與直角坐標的對于關系得出直角坐標方程；
（2）把直線l的參數方程代入曲線C的方程，利用根與系數的關系和參數的幾何意義化簡即可得出結論．

解答 解：（1）∵ρ-ρcos²θ-4cosθ=0，∴ρ²-ρ²cos²θ-4ρcosθ=0，
∴x²+y²-x²-4x=0，即y²=4x．
（2）把為$\left\{\begin{array}{l}x=a+tcosθ\\ y=tsinθ\end{array}\right.（t$為參數，θ為傾斜角）代入y²=4x得：
sin²θ•t²-4cosθ•t-4a=0，
∴t₁+t₂=$\frac{4cosθ}{si{n}^{2}θ}$，t₁t₂=-$\frac{4a}{si{n}^{2}θ}$，
∴$\frac{1}{{{{|{QA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{QB}|}^2}}}$=$\frac{1}{{{t}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{t}_{2}}^{2}}$=$\frac{{{t}_{1}}^{2}+{{t}_{2}}^{2}}{{{t}_{1}}^{2}{{t}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-2{t}_{1}{t}_{2}}{{{t}_{1}}^{2}{{t}_{2}}^{2}}$=$\frac{16co{s}^{2}θ+8asi{n}^{2}θ}{16{a}^{2}}$，
∴當a=2時，$\frac{1}{{{{|{QA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{QB}|}^2}}}$為定值$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了參數方程的幾何意義，極坐標與直角坐標的轉化，屬于中檔題．