分析 由題意構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf (x),再由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷出函數(shù)g(x)的單調(diào)性,由函數(shù)f(x)的奇偶性得到函數(shù)g(x)的奇偶性,由f(1)=0得g(1)=0、還有g(shù)(-1)=0,再通過(guò)奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用單調(diào)性求出不等式得解集.
解答 解:設(shè)g(x)=xf(x),
則g'(x)=[xf(x)]'=x'f(x)+xf'(x)=f(x)+xf′(x)>0恒成立,
∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),
∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù),∴g(x)=xf(x)是R上的奇函數(shù),
∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(-∞,0)上是增函數(shù),
∵f(1)=0,∴f(-1)=0; 即g(-1)=0,g(1)=0
lgx•f(lgx)<0化為g(lgx)<g(1),或g(lgx)<g(-1),
∴0<x<$\frac{1}{10}$或1<x<10,
故答案為:(0,$\frac{1}{10}$)∪(1,10).
點(diǎn)評(píng) 本題考查了由條件構(gòu)造函數(shù)和用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系對(duì)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,注意函數(shù)值為零的自變量的取值.
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A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | 1 | D. | 2 |
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A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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A. | (0,1) | B. | (1,2) | C. | (2,3) | D. | (3,4) |
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A. | 30° | B. | 45° | C. | 60° | D. | 90° |
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