Question

6．已知三棱錐A-BCD中，AC=BD=BC=AD=$\sqrt{5}$，AB=DC=$\sqrt{2}$，則該三棱錐外接球的體積為$\sqrt{6}$π．

Answer 1

分析 由三棱錐的對邊相等可得三棱錐A-BCD為某一長方體的對角線組成的三棱錐，求出長方體的棱長即可得出外接球的半徑，從而計算出外接球的體積．

解答 解：∵AC=BD=BC=AD=$\sqrt{5}$，AB=DC=$\sqrt{2}$，
∴三棱錐A-BCD可看做對角線分別為$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{2}$的長方體的對角線所組成的三棱錐，
設長方體的棱長為a，b，c，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=5}\\{{a}^{2}+{c}^{2}=5}\\{^{2}+{c}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{^{2}=1}\\{{c}^{2}=1}\end{array}\right.$．
∴長方體的體對角線長為$\sqrt{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{6}$，即三棱錐的外接球的直徑為$\sqrt{6}$，
∴外接球的半徑為r=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴外接球的體積V=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{4}{3}×π×（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{3}$=$\sqrt{6}$π．
故答案為：$\sqrt{6}π$．

點評 本題考查了棱錐與外接球的位置關系，棱錐的體積計算，轉化思想，屬于中檔題．