Question

7．f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2016，則不等式e^xf（x）＞e^x+2015的解集是（0，+∞）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），研究g（x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值即可求解．

解答 解：設(shè)g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，
∵e^xf（x）＞e^x+2015，
∴g（x）＞2015，
又∵g（0）=e⁰f（0）-e⁰=2016-1=2015，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0
故答案為：（0，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．