Question

(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面

ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD，AP=AB，

BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB,PC的中點.

(Ⅰ)證明：EF∥平面PAD；

(Ⅱ)求四棱錐E-ABCD的體積V；

(Ⅲ)求二面角E-AD-C的大小.

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

(1)略

(2)

(3) 45°

【解析】

解：(Ⅰ)∵E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點

∴EF∥BC       ……………………1分

∵BC∥AD

∴EF∥AD       ……………………2分

∵AD平面PAD,EF平面PAD

∴EF∥平面PAD  ……………………4分

(Ⅱ)(法1)∵AP=AB,BP=2,AP⊥平面ABCD

∴AB=AP=    ……………………5分

∵S矩形ABCD=AB·BC=2

∴VP-ABCD=S矩形ABCD·PA= …6分

∴V=VP-ABCD=   ………………8分

(Ⅱ)(法2)連接EA,EC,ED,過E作EG∥PA交AB

于點G

則EG⊥平面ABCD,且EG=PA ………5分

∵AP=AB,PAB=90°,BP=2

∴AP=AB=,EG=       ………6分

∵S矩形ABCD=AB·BC

=2

∴V=S矩形ABCD·EG

=        ……………………8分

(Ⅲ)∵PA⊥平面ABCD

∴AD⊥PA

∵ABCD是矩形

∴AD⊥AB

∵AP∩AB=A

∴AD⊥平面ABP

∵AE平面ABP

∴AD⊥AE

∴∠BAE為所求二面角的平面角……11分

∵△ABP是等腰直角三角形，E是PB中點

∴所求二面角為45° ………………12分