Question

已知圓C：x²+y²-4x=0，
（1）求圓C被直線x+y=0截得的弦長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)A為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求弦OA的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心C的坐標(biāo)和半徑r，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線x+y=0的距離d，即為弦心距，再由半徑r，利用垂徑定理及勾股定理即可求出弦長(zhǎng)；
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由M為AO的中點(diǎn)，根據(jù)A和O的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出M坐標(biāo)與A坐標(biāo)的關(guān)系，用M的橫縱坐標(biāo)表示出A的橫縱坐標(biāo)，根據(jù)A在圓C上，把表示出的A坐標(biāo)代入圓C的方程，整理后即可得到M的軌跡方程．

解答：（本小題滿分14分）
解：（1）圓C方程為（x-2）²+y²=4，則圓心C（2，0），半徑r=2，…（3分）
又圓心C到直線x+y=0的距離為d=

2

2

=

2

，…（5分）
∴所求弦長(zhǎng)為2

r2-d2

=2

4-2

=2

2

；…（7分）
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₀，y₀），…（8分）
∵M(jìn)為OA的中點(diǎn)，
∴

x= x0 2 y= y0 2

，變形得：

x0=2x y0=2y

，…（11分）
又∵點(diǎn)A在圓C上，
∴x02+y02-4x0=0，
∴（2x）²+（2y）²-4•2x=0，
整理得：x²+y²-2x=0，即（x-1）²+y²=1，…（13分）
∴所求的點(diǎn)M的軌跡方程為（x-1）²+y²=1．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，勾股定理，垂徑定理，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，是一道綜合性較強(qiáng)的題．