Question

現(xiàn)有四分之一圓形的紙板（如圖），∠AOB=90°，圓半徑為1，要裁剪成四邊形OAPB，且滿(mǎn)足AP∥OB，，∠POA=θ，記此四邊形的面積為f（θ），求f（θ）的最大值．

Answer 1

分析：表示出四邊形OAPB，利用二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合角的范圍，確定面積的最大值．

解答：解：由題意，f（θ）=SOAPB=

1

2

(|OB|+|AP|)•|OA|=

1

2

(

3

3

cosθ+sinθ)•cosθ …（4分）
=

1

2

(

3

3

cos2θ+sinθ•cosθ)=

1

2

(

3

3

1+cos2θ

2

+

1

2

sin2θ)=

3

6

sin(2θ+

π

6

)+

3

12

  …（8分）
又∵0＜θ＜

π

2

，∴

π

6

＜2θ+

π

6

＜

7π

6

，∴2θ+

π

6

=

π

2

∴θ=

π

6

時(shí)，面積f（θ）取最大值

3

4

  …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查面積的計(jì)算，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查三角函數(shù)的最值，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．