Question

5．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，左、右頂點分別為A，B．以F₁F₂為直徑的圓O過橢圓E的上頂點D，直線DB與圓O相交得到的弦長為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．設(shè)點P（a，t）（t≠0），連接PA交橢圓于點C，坐標(biāo)原點為O．
（I）求橢圓E的方程；
（II）若三角形ABC的面積不大于四邊形OBPC的面積，求|t|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：b=c，則$a=\sqrt{2}b$，則直線DB的方程為$y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+b$，由題意可知$2\sqrt{{b^2}-{{（\frac{{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}}）}^2}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，即可求得b及a的值，求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線PA的方程為$y=\frac{t}{{2\sqrt{2}}}（x+\sqrt{2}）$，代入橢圓方程，求得C點坐標(biāo)，直線BC的斜率為${k_{BC}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{t}$，由于直線OP的斜率為${k_{OP}}=\frac{t}{{\sqrt{2}}}$，可得OP⊥BC，分別求得三角形ABC的面積及四邊形OBPC的面積由$\frac{{4\sqrt{2}|t|}}{{4+{t^2}}}≤\frac{{\sqrt{2}|{{t^3}+2t}|}}{{4+{t^2}}}$，即可求得丨t丨取值范圍，即可求得|t|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）因為以F₁，F(xiàn)₂為直徑的圓O過點D，所以b=c，則圓O的方程為x²+y²=b²，
又a²=b²+c²，所以$a=\sqrt{2}b$，直線DB的方程為$y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+b$，直線DB與圓O相交得到的弦長為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
則$2\sqrt{{b^2}-{{（\frac{{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}}）}^2}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，所以b=1，$a=\sqrt{2}$，
所以橢圓E的方程為        $\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（5分）
（Ⅱ）由已知得：$a=\sqrt{2}$，b=1，橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
設(shè)直線PA的方程為$y=\frac{t}{{2\sqrt{2}}}（x+\sqrt{2}）$，由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=\frac{t}{{2\sqrt{2}}}（x+\sqrt{2}）\end{array}\right.$
整理得$（4+{t^2}）{x^2}+2\sqrt{2}{t^2}x+2{t^2}-8=0$，
解得：${x_1}=-\sqrt{2}$，${x_2}=\frac{{4\sqrt{2}-\sqrt{2}{t^2}}}{{4+{t^2}}}$，則點C的坐標(biāo)是$（\frac{{4\sqrt{2}-\sqrt{2}{t^2}}}{{4+{t^2}}}，\frac{4t}{{4+{t^2}}}）$，
故直線BC的斜率為${k_{BC}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{t}$，由于直線OP的斜率為${k_{OP}}=\frac{t}{{\sqrt{2}}}$，
所以k_BC•k_OP=-1，所以O(shè)P⊥BC．…（10分）
所以${S_{OBPC}}=\frac{1}{2}×|{OP}|×|{BC}|=\frac{{\sqrt{2}|{{t^3}+2t}|}}{{4+{t^2}}}$，${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{4|t|}{{4+{t^2}}}=\frac{{4\sqrt{2}|t|}}{{4+{t^2}}}$，所以$\frac{{4\sqrt{2}|t|}}{{4+{t^2}}}≤\frac{{\sqrt{2}|{{t^3}+2t}|}}{{4+{t^2}}}$，
整理得2+t²≥4，$|t|≥\sqrt{2}$，所以${|t|_{min}}=\sqrt{2}$．…（13分）

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準方程，直線與橢圓的位置位置關(guān)系，考查直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．