Question

已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）若曲線在處的切線也是拋物線的切線，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，是否存在，使曲線在點(diǎn)處的切線斜率與 在

上的最小值相等？若存在，求符合條件的的個(gè)數(shù)；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）或;(2).

【解析】

試題分析：(1)對在處求導(dǎo)，求出切線方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)可求解；(2)求導(dǎo)解出的最小值為1，對曲線C求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)為1，得到方程，構(gòu)造新函數(shù)，用求導(dǎo)方法判斷其零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得解.

試題解析：（1），                                         1分

所以在處的切線為

即：                                                      2分

與聯(lián)立，消去得，

由知，或.                                     4分

（2）當(dāng)時(shí)，令 得 

	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

則                                                           6分

設(shè)，

則，                         7分

假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使曲線在點(diǎn)處的切線斜率與

在上的最小值相等，即為方程的解，                             8分

令得：，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102623582407382408/SYS201310262358583539904918_DA.files/image039.png">， 所以.    10分

令，則 ，                        11分

當(dāng)是，當(dāng)時(shí)，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

,故方程 有唯一解為 ，               13分

所以存在符合條件的，且僅有一個(gè).                               14分

考點(diǎn)：求導(dǎo)，函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)最值，函數(shù)零點(diǎn).