已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）若曲線在處的切線也是拋物線的切線，求的值；

（2）當時，是否存在，使曲線在點處的切線斜率與 在

上的最小值相等？若存在，求符合條件的的個數(shù)；若不存在，請說明理由.

 

【答案】

（1）或;(2).

【解析】

試題分析：(1)對在處求導，求出切線方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)可求解；(2)求導解出的最小值為1，對曲線C求導，令導函數(shù)為1，得到方程，構造新函數(shù)，用求導方法判斷其零點個數(shù)，得解.

試題解析：（1），                                         1分

所以在處的切線為

即：                                                      2分

與聯(lián)立，消去得，

由知，或.                                     4分

（2）當時，令 得 

 

 

 

單調遞減

極小值 

單調遞增

則                                                           6分

設，

則，                         7分

假設存在實數(shù)，使曲線在點處的切線斜率與

在上的最小值相等，即為方程的解，                             8分

令得：，因為， 所以.    10分

令，則 ，                        11分

當是，當時，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

,故方程 有唯一解為 ，               13分

所以存在符合條件的，且僅有一個.                               14分

考點：求導，函數(shù)單調性，函數(shù)最值，函數(shù)零點.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）（Ⅰ）若對于任意恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；(Ⅱ)當時，是否存在，使曲線在點處的切線斜率與在上的最小值相等？若存在，求符合條件的的個數(shù)；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年福建省泉州市高三畢業(yè)班質量檢查文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

(本小題滿分14分)

已知函數(shù)（…是自然對數(shù)的底數(shù)）的最小值為．

（Ⅰ）求實數(shù)的值；

（Ⅱ）已知且，試解關于的不等式 ；

（Ⅲ）已知且.若存在實數(shù)，使得對任意的，都有，試求的最大值．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年甘肅省河西五市高三第二次聯(lián)合考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知函數(shù) （是自然對數(shù)的底數(shù)，）.

（1）當時，求的單調區(qū)間；

（2）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）證明對一切恒成立.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年甘肅省高三第十次月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知函數(shù) （是自然對數(shù)的底數(shù)，）.

（1）當時，求的單調區(qū)間；

 （2）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）證明對一切恒成立.

 

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