Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù) （是自然對數(shù)的底數(shù)，）.

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

 （2）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）證明對一切恒成立.

 

Answer 1

【答案】

（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減。

（2）；（3）．

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的 運用。利用導數(shù)的符號判定函數(shù)單調(diào)性和利用單調(diào)性逆向求解參數(shù)的范圍，和不等式的證明。

（1）首先求解定義域和導數(shù)，然后令導數(shù)大于零，小于零得到單調(diào)區(qū)間。

（2）因為在區(qū)間上是增函數(shù)，則說明函數(shù)在給定區(qū)間的導函數(shù)恒大于等于零，利用分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的取值范圍。

（3）利用第一問中函數(shù)的結(jié)論，令得，，那么所以在上為減函數(shù)，可得對于任意，都有，故有

，放縮法證明不等式。

解：（1）當時，，

       

         由，……………………………………………..4分

         所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減。

     （2），

由題意得當時，恒成立。

令，有，得，

所以的范圍是…………………………………………8分

（3）令得，，

所以在上為減函數(shù)，對于任意，都有，故有

即

即．                           ………12分