Question

已知橢圓 

x2

m

+

y2

n

=1（常數(shù)m、n∈R⁺，且m＞n）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂ ，M、N為短軸的兩個端點，且四邊形F₁MF₂N是邊長為2的正方形．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過原點且斜率分別為k和-k（k≥2）的兩條直線與橢圓

x2

m

+

y2

n

=1的交點為A、B、C、D（按逆時針順序排列，且點A位于第一象限內(nèi)），求四邊形ABCD的面積S的最大值．．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

m-n=n 2 n =2 2

，得

m=4 n=2

，由此能得到所求橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x，y）．由

y=kx x2 4 + y2 2 =1

得A(

2

1+2k2

，

2k

1+2k2

)．根據(jù)題設(shè)直線圖象與橢圓的對稱性，知
S=4×

2

1+2k2

×

2k

1+2k2

=

16k

1+2k2

(k≥2)．由此能求出四邊形ABCD的面積S的最大值．

解答：解：（Ⅰ）依題意：

m-n=n 2 n =2 2

，∴

m=4 n=2

，
所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．（3分）
（Ⅱ）設(shè)A（x，y）．
由

y=kx x2 4 + y2 2 =1

得A(

2

1+2k2

，

2k

1+2k2

)．（6分）
根據(jù)題設(shè)直線圖象與橢圓的對稱性，知（8分）
S=4×

2

1+2k2

×

2k

1+2k2

=

16k

1+2k2

(k≥2)．（9分）
∴S=

16

1 k +2k

(k≥2)．
設(shè)M(k)=2k+

1

k

，則M′(k)=2-

1

k2

，當(dāng)k≥2時，M′(k)=2-

1

k2

＞0
∴M（k）在k∈[2，+∞）時單調(diào)遞增，∴[M(k)]min=M(2)=

9

2

，（11分）
∴當(dāng)k≥2時，Smax=

16

9 2

=

32

9

．（12分）

點評：本題考查橢圓的方程的求法和四邊形面積的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．