Question

已知圓C₁：x²+y²-4x+2y=0與圓C₂：x²+y²-2y-4=0．
（1）求證兩圓相交；
（2）求兩圓公共弦所在直線的方程；
（3）求過兩圓的交點且圓心在直線2x+4y=1上的圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心距及半徑，即可得兩圓相交；
（2）對兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程；
（3）先求兩圓的交點，進(jìn)而可求圓的圓心與半徑，從而可求圓的方程．
解答：（1）證明：圓C₁：x²+y²-4x+2y=0與圓C₂：x²+y²-2y-4=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程分別為圓C₁：（x-1）²+（y+1）²=5與圓C₂：x²+（y-1）²=5
∴C₁（1，-1）與圓C₂（0，1），半徑都為
∴圓心距為
∴兩圓相交；
（2）解：將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，即
（x²+y²-4x+2y）-（x²+y²-2y-4）=0
即x-y-1=0
（3）解：由（2）得y=x-1代入圓C₁：x²+y²-4x+2y=0，化簡可得2x²-4x-1=0
∴
當(dāng)時，；當(dāng)時，
設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為（a，b），則

∴
∴
∴過兩圓的交點且圓心在直線2x+4y=1上的圓的方程為
點評：本題重點考查兩圓的位置關(guān)系，考查兩圓的公共弦，考查圓的方程，解題的關(guān)鍵是確定圓的圓心與半徑，綜合性強(qiáng)．