Question

19．某集團(tuán)為獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi)t（百萬元），可增加銷售額約為-t²+7t（百萬元）（0≤t≤4）．
（1）若該公司將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在400萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少?gòu)V告費(fèi)，才能使該公司獲得的收益最大？
（2）現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入400萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造．經(jīng)預(yù)測(cè)，每投入技術(shù)改造費(fèi)x（百萬元），可增加的銷售額為-$\frac{1}{3}$x³+x²+3x（百萬元）．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案，使該公司獲得的收益最大．（注：收益=銷售額-投入）

Answer 1

分析 （1）設(shè)投入t（t百萬元）的廣告費(fèi)后增加的收益為f（t）根據(jù)收益為銷售額與投放的差可建立收益模型為：f（t）=（-t²+7t）-t=-t²+6t，再由二次函數(shù)法求得最大值．
（2）根據(jù)題意，若用技術(shù)改造的資金為x（百萬元），則用于廣告促銷的資金為（4-x）（百萬元），則收益模型為：g（x）=（-$\frac{1}{3}$x³+x²+3x）+[-（4-x）²+7（4-x）]-3=-$\frac{1}{3}$x³+4x+12（0≤x≤4），因?yàn)槭歉叽魏瘮?shù)，所以用導(dǎo)數(shù)法研究其最大值．

解答 解：（1）設(shè)投入t（t百萬元）的廣告費(fèi)后增加的收益為f（t）（百萬元），
則有f（t）=（-t²+7t）-t=-t²+6t=-（t-3）²+9（0＜t≤4），
所以當(dāng)t=3百萬元時(shí)，f（t）取得最大值9百萬元．
即投入3百萬元時(shí)的廣告費(fèi)時(shí)，該公司由此獲得的收益最大．（6分）
（2）設(shè)用技術(shù)改造的資金為x（百萬元），
則用于廣告促銷的資金為（4-x）（百萬元），
則增加的收益為g（x）=（-$\frac{1}{3}$x³+x²+3x）+[-（4-x）²+7（4-x）]-3=-$\frac{1}{3}$x³+4x+12（0≤x≤4），
所以g′（x）=-x²+4．令g′（x）=0，
解得x=2，或x=-2（舍去）．
又當(dāng)0≤x＜2時(shí)，g′（x）＞0，
當(dāng)2＜x≤3時(shí)，g′（x）＜0．
故g（x）在[0，2]上是增函數(shù)，在[2，4]上是減函數(shù)．
所以當(dāng)x=2時(shí)，g（x）取最大值，
即將2百萬元用于技術(shù)改造，2百萬元用于廣告促銷，該公司由此獲得的收益最大．（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)模型的建立和應(yīng)用，還考查了二次函數(shù)法和導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的最值的基本方法．