【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,PA= a,AD=2a.

(1)若AE⊥PD,E為垂足,求異面直線AE與CD所成角的余弦值;
(2)求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的正切值.

【答案】
(1)解:法一(幾何法):

過點E作EM∥CD交PC于M,連接AM,

則AE與ME所成角即為AE與CD所成角.

在Rt△PAD中,∠PAD=90°,

,得∠PDA=30°,∴

∴AE=ADsin30°=a.

,

連接AC,∵在△ACD中,AD=2a, , ,

∴AD2=AC2+CD2,∴∠ACD=90°,∴CD⊥AC,∴ME⊥AC.

又∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD,∴ME⊥PA.∴ME⊥平面PAC.

∵MA平面PAC,∵ME⊥AM.

∴在Rt△AME中,

∴異面直線AE與CD所成角的余弦值為

法二(向量法):

如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz,

則A(0,0,0),B(a,0,0), ,C(a,a,0),D(0,2a,0), ,

=(0, ), =(﹣a,a,0).

設(shè)AE與CD所成角為θ,

則cosθ= = ,

∴異面直線AE與CD所成角的余弦值為


(2)解:由題設(shè)知,CB⊥AB,CB⊥PA,則CB⊥平面PAB.

∴平面PAB的一個法向量為 =(0,a,0).

設(shè)平面PCD的一個法向量為 =(x,y,z),

=(a,a,﹣ a), =(﹣a,a,0),∴由 =0, =0.

,∴ ,令y=1,得 =(1,1, ).

設(shè)平面PAB與平面PCD所成的銳二面角為α,

則cosα= =

∴tanα=2.

∴平面PAB與平面PCD所成銳二面角的正切值為2.


【解析】向量法為解空間幾何題提供了更一般的方法,使用時需建立合適的空間直角坐標系,而幾何法可以充分的利用題目中條件的特殊性,使得解題的計算量大大下降.
【考點精析】通過靈活運用異面直線及其所成的角,掌握異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點,作另一條的平行線;2、補形法:把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系即可以解答此題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a、b∈R)滿足f(x+1)﹣f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在區(qū)間[﹣1,﹣1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】給出下面三個類比結(jié)論:
①向量 ,有| |2= 2;類比復數(shù)z,有|z|2=z2
②實數(shù)a,b有(a+b)2=a2+2ab+b2;類比向量 ,有( 2= 2 2
③實數(shù)a,b有a2+b2=0,則a=b=0;類比復數(shù)z1 , z2 , 有z12+z22=0,則z1=z2=0
其中類比結(jié)論正確的命題個數(shù)為( )
A.0
B.1
C.2
D.3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=(2x+b)ex , F(x)=bx﹣lnx,b∈R.
(1)若b<0,且存在區(qū)間M,使f(x)和F(x)在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性,求b的取值范圍;
(2)若F(x+1)>b對任意x∈(0,+∞)恒成立,求b的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) 的圖像如圖所示.

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)當時,求函數(shù)的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知, .

(1)求的解析式;

(2)求的值域;

(3)設(shè), 時,對任意總有成立,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖所示,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,經(jīng)過點F的直線l與拋物線交于P,Q兩點,弦PQ的中點為N,經(jīng)過點N作y軸的垂線與C的準線交于點T.

(Ⅰ)若直線l的斜率為1,且|PQ|=4,求拋物線C的標準方程;
(Ⅱ)證明:無論p為何值,以線段TN為直徑的圓總經(jīng)過點F.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導函數(shù)f′(x),對于任意的實數(shù)x,都有f(x)=4x2﹣f(﹣x),當x∈(﹣∞,0)時,f′(x)+ <4x,若f(m+1)≤f(﹣m)+4m+2,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.[﹣ ,+∞)
B.[﹣ ,+∞)
C.[﹣1,+∞)
D.[﹣2,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)若函數(shù)的定義域為,的取值范圍;

(2)設(shè)函數(shù)若對任意,總有,的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案