Question

19.如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=，AF=1,M是線段EF的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證:AM∥平面BDE;

（Ⅱ）求二面角A－DF－B的大小;

（Ⅲ）試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使得PF與BC所成的角是60°.

Answer 1

19.本題主要考查空間線面關(guān)系及空間向量概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力.

方法一：

解：（Ⅰ）記AC與BD的交點(diǎn)為O,連結(jié)OE,

∵O、M分別是AC、EF的中點(diǎn),ACEF是矩形,

∴四邊形AOEM是平行四邊形.

∴AM∥OE.

∵OE平面BDE,AM平面BDE,

∴AM∥平面BDE.

（Ⅱ）在平面AFD中過(guò)A作AS⊥DF于S,連結(jié)BS,

∵AB⊥AF,AB⊥AD,AD∩AF=A,

∴AB⊥平面ADF，

∴AS是BS在平面ADF上的射影,

由三垂線定理得BS⊥DF.

∴∠BSA是二面角A－DF－B的平面角.

在Rt△ASB中，AS=，AB=，

∴tanASB=,∠ASB=60°.

∴二面角A－DF－B的大小為60°.

（Ⅲ）設(shè)CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q,則PQ∥AD,

 

∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,AB∩AF=A,

∴PQ⊥平面ABF,QF平面ABF，

∴PQ⊥QF.

在Rt△PQF中,∠FPQ=60°,

PF=2PQ.

∵△PAQ為等腰直角三角形,

∴PQ=（2－t）.

又∵△PAF為直角三角形,

∴PF=，

∴=2·（2－t）.

所以t=1或t=3（舍去）.

即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn).

方法二：

（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AC∩BD=N,連結(jié)NE,

則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別是（,,0）、（0,0,1）,

∴=（－,－,1）.

又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是

（,,0）、（,,1）,

∴=（－,－,1）.

∴=且NE與AM不共線，

∴NE∥AM.

又∵NE平面BDE,AM平面BDE,

∴AM∥平面BDE.

（Ⅱ）∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF∩AD=A,

∴AB⊥平面ADF.

∴=（－,0,0）為平面DAF的法向量.

∵·=（－,－,1）·（－,,0）=0,

·=（－,－,1）·（,,1）=0得

⊥,⊥,

∴為平面BDF的法向量.

∴cos〈,〉=.

∴與的夾角是60°.

即所求二面角A－DF－B的大小是60°.

（Ⅲ）設(shè)P（t,t,0）（0≤t≤）得