Question

已知集合A={a₁，a₂，…，a_n}，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個(gè)數(shù)．
（Ⅰ）若集合A={2，4，8，16}，則l（A）=

 

；
（Ⅱ）當(dāng)n=108時(shí)，l（A）的最小值為

 

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)定義結(jié)合題中所給的集合即可確定l（Q）；
（Ⅱ）根據(jù)集合A的元素特點(diǎn)，求出求l（A）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，
得l（Q）=6．
（Ⅱ）不妨設(shè)a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，可得
a₁+a₂＜a₁+a₃＜…＜a₁+a_n＜a₂+a_n＜a₃+a_n＜…＜a_n-1+a_n，
故a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中至少有2n-3個(gè)不同的數(shù)，即l（A）≥2n-3．
事實(shí)上，設(shè)a₁，a₂，a₃，…，a_n成等差數(shù)列，考慮a_i+a_j（1≤i＜j≤n），
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，當(dāng)i+j≤n時(shí)，a_i+a_j=a₁+a_i+j-1；當(dāng)i+j＞n時(shí)，a_i+a_j=a_i+j-n+a_n；
因此每個(gè)和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）等于a₁+a_k（2≤k≤n）中的一個(gè)，或者等于a_l+a_n（2≤l≤n-1）中的一個(gè)．
故對(duì)這樣的集合A，l（A）=2n-3，所以l（A）的最小值為2n-3．
當(dāng)n=108時(shí)，l（A）的最小值為213．
故答案為：（Ⅰ）6．（Ⅱ）213．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合與元素的關(guān)系，以及組合的有關(guān)知識(shí)，認(rèn)真審題，正確的理解題意并且仔細(xì)解答是解題的關(guān)鍵點(diǎn)