已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數(shù)．
（1）設(shè)集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分別求l（P）和l（Q）的值；
（2）若集合A={2，4，8，…，2n}，求l（A）的值．
分析：（1）根據(jù)定義確定l（P），l（Q）；
（2）由題意可得：l（A）≤
n(n-1)
2
，再分情況討論當(dāng)j≠l時與當(dāng)j=l，i≠k時，均有ai+aj≠ak+al，進(jìn)而得到l（A）=
n(n-1)
2
．
解答：解：（1）由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，
得l（Q）=6
（2）因為集合A={a1，a2，a3，…，an}最多有
n(n-1)
2
個ai+aj（1≤i＜j≤n）的值，
所以l（A）≤
n(n-1)
2
．
又集合A={2，4，8，…，2n}，任取ai+aj，ak+al（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），
當(dāng)j≠l時，不妨設(shè)j＜l，則ai+aj＜2aj=2j+1≤al＜ak+al，即ai+aj≠ak+al．
當(dāng)j=l，i≠k時，ai+aj≠ak+al．
因此，當(dāng)且僅當(dāng)i=k，j=l時，ai+aj=ak+al．
即所有ai+aj（1≤i＜j≤n）的值兩兩不同，
所以l（A）=
n(n-1)
2
．
點評：本題主要考查集合與元素的關(guān)系，以及組合的有關(guān)知識，認(rèn)真審題，正確的理解題意并且仔細(xì)解答是解題的關(guān)鍵點．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A=a1，a2，…，an中的元素都是正整數(shù)，且a1＜a2＜…＜an，對任意的x，y∈A，且x≠y，有|x-y|≥
xy
25
．
（Ⅰ）求證：
1
a1
-
1
an
≥
n-1
25
；    
（Ⅱ）求證：n≤9；
（Ⅲ）對于n=9，試給出一個滿足條件的集合A．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A=a1，a2，a3，…，an，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分別求l（P）和l（Q）；
（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n，求證：l(A)=
n(n-1)2
；
（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={a1，a2，…，an}中的元素都是正整數(shù)，且a1＜a2＜…＜an，對任意的x，y∈A，且x≠y，都有|x-y| ≥
xy
36
．
（1）求證：
1
a1
-
1
an
≥
n-1
36
；（提示：可先求證
1
ai
-
1
ai+1
≥
1
36
（i=1，2，…，n-1），然后再完成所要證的結(jié)論．）
（2）求證：n≤11；
（3）對于n=11，試給出一個滿足條件的集合A．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={a1，a2，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數(shù)．
（Ⅰ）若集合A={2，4，8，16}，則l（A）=
 
；
（Ⅱ）當(dāng)n=108時，l（A）的最小值為
 
．

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