Question

設函數(shù)f（x）=log_a

x-2a

x+2a

（a＞0，a≠1）
（1）若a=2，求f（x）的定義域和值域；
（2）若函數(shù)的定義域為[s，t]，則函數(shù)的值域為[log_a（t-a），log_a（s-a）]，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）通過對數(shù)的定義得到x滿足的關系式，解不等式得到函數(shù)定義域，通過對內函數(shù)的研究得到其取值范圍，再利用外函數(shù)單調性，得到函數(shù)的值域，得到本題結論；
（2）通過對內函數(shù)、外函數(shù)的研究，將問題轉化為一元二次方程的根的存在性問題，對所得到二次函數(shù)圖象的研究，得到a滿足的關系式，解不等式組，得到本題結論．

解答： 解：（1）當a=2時，
函數(shù)f（x）=log_a

x-2a

x+2a

=log₂

x-4

x+4

，
∴

x-4

x+4

＞0，
∴（x-4）（x+4）＞0，
∴x＜-4或x＞4．
∵

x-4

x+4

=1+

-8

x+4

≠0，
∴l(xiāng)og₂

x-4

x+4

≠0
∴當a=2時，函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，-4）∪（4，+∞），值域為（-∞，0）∪（0，+∞）．
（2）∵函數(shù)f（x）=log_a

x-2a

x+2a

，
∴函數(shù)定義域為：（-∞，-2a）和（2a，+∞），
∵函數(shù)的定義域為[s，t]，函數(shù)的值域為[log_a（t-a），log_a（s-a）]，
∴s≤t，log_a（t-a）≤log_a（s-a），
∴0＜s-a≤t-a，
∴0＜a＜1．
∵函數(shù)f（x）=log_a

x-2a

x+2a

=loga(1-

4a

x+2a

)，
由內函數(shù)u=1-

4a

x+2a

和外函數(shù)y=log_au構成的復合函數(shù)．
又∵內函數(shù)u=1-

4a

x+2a

的減區(qū)間為（-∞，-2a）和（2a，+∞），
外函數(shù)y=log_au在（0，+∞）單調遞增，
∴函數(shù)f（x）=log_a

x-2a

x+2a

的減區(qū)間為（-∞，-2a）和（2a，+∞）．
∵t＞a，t＞a，
∴s≥t＞2a，
∴f（t）≤f（x）≤f（s），
∴f（t）=log_a（t-a），
f（s）=log_a（s-a），
∴

t-2a

t+2a

=t-a，

s-2a

s+2a

=s-a，
∴s、t是方程x²+（a-1）x-2a²+2a=0的兩個根，
∴方程x²+（a-1）x-2a²+2a=0有兩個大于2a的實數(shù)根，
記g（x）=x²+（a-1）x-2a²+2a，
則

- a-1 2 ＞2a f( 1-a 2 )≤0 f(2a)＞0

，
∴

a＜ 1 5 a≤ 1 9 或a≥1 a2＞0

，
∴0＜a≤

1

9

．
∴實數(shù)a的取值范圍是（0，

1

9

]．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域、單調性、復合函數(shù)的單調性、一元二次方程的根，本題思維難度較大，計算量也不小，屬于中高檔題題．