11．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an+2Sn•Sn-1=0（n≥2），a1=$\frac{1}{2}$．
（1）求證：{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的前2011項的和．

分析 （1）由an+2Sn•Sn-1=0（n≥2），可得Sn-Sn-1+2Sn•Sn-1=0，化為$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，即可證明．
（2）由（1）可得：${S}_{n}=\frac{1}{2n}$．即可得出．

解答 （1）證明：∵an+2Sn•Sn-1=0（n≥2），∴Sn-Sn-1+2Sn•Sn-1=0，化為$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列，首項為2，公差為2；
（2）解：由（1）可得：$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，
∴${S}_{n}=\frac{1}{2n}$．
∴數(shù)列{an}的前2011項的和=$\frac{1}{2×2011}$=$\frac{1}{4022}$．

點評 本題考查了遞推關系、等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

19．下列六個關系式中正確的個數(shù)是（　�。�
①{1，0，-1}={-1，0，1}
②{a，b}⊆{b，a}
③{a}=a
④∅?{0}
⑤0∈{x|x＜1，x∈R}
⑥{1，3，5}?{x|x是10以內的質數(shù)}．
A．2B．3C．4D．5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．設f（x）=（m+1）x2+2mx+1．問：
（1）當m取何值時，f（x）為偶函數(shù)？
（2）若f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求m的范圍；
（3）若不等式f（x）≥0的解集是R．求m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

17．設全集U={x|x=2n-1，n∈N*，n≤7}，A∩（∁UB）={3，7}，（∁UA）∩B={9，13}，（∁UA）∩（∁UB）={1，11}，求集合A，B．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

6．若p為非負實數(shù)，隨機變量ξ的分布列如下表，則Eξ的最大值為$\frac{3}{2}$，D（ξ）的最小值為$\frac{1}{4}$．
 ξ012
P$\frac{1}{2}$-pp$\frac{1}{2}$ 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

16．若函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-ax2+bx+1在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，3）上有極值點，且在點（0，1）處的切線與直線x+y-2=0垂直，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�
A．（1，$\frac{5}{4}$）B．（1，$\frac{5}{3}$）C．[1，$\frac{5}{4}$）D．[1，$\frac{5}{3}$）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

3．任意確定四個日期，其中至少有兩個是星期天的概率為（　�。�
A．$\frac{241}{2401}$B．$\frac{1105}{2401}$C．$\frac{1}{2}$D．$\frac{4}{7}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．已知|$\overrightarrow{a}$|=8，|$\overrightarrow$|=15．
（1）求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的取值范圍；
（2）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=17，則表示$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的有向線段所在的直線所成的角是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

1．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（-1，2），$\overrightarrow$=（2，y）且2$\overrightarrow{a}$⊥3$\overrightarrow$，則實數(shù)y=1．

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