Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），a₁=$\frac{1}{2}$．
（1）求證：{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前2011項(xiàng)的和．

Answer 1

分析 （1）由a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），可得S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0，化為$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，即可證明．
（2）由（1）可得：${S}_{n}=\frac{1}{2n}$．即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），∴S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0，化為$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為2；
（2）解：由（1）可得：$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，
∴${S}_{n}=\frac{1}{2n}$．
∴數(shù)列{a_n}的前2011項(xiàng)的和=$\frac{1}{2×2011}$=$\frac{1}{4022}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．