Question

已知函數(shù)對(duì)任意,都有, 且當(dāng)時(shí)，都有.

（1）求

（2）求證：在上單調(diào)遞減.

 

Answer 1

（1）-10100； （2）見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件可令即可得：，再次結(jié)合, ，可以求出經(jīng)觀察可得：這些數(shù)恰好構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，按照等差數(shù)列的公式求和即可；

（2）結(jié)合（1）以及奇偶性的定義可得：，即可得到結(jié)論；由以上兩問(wèn)可得：所以利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞減即可；

試題解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)任意有，所以令可得：，

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015011006001479862358/SYS201501100600266741415271_DA/SYS201501100600266741415271_DA.004.png">，所以，，，所以由此可得構(gòu)成以0為首項(xiàng)，以-2為公差的等差數(shù)列，所以；

（2）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015011006001479862358/SYS201501100600266741415271_DA/SYS201501100600266741415271_DA.017.png">,所以令則，所以為奇函數(shù)；

任取,且，所以

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015011006001479862358/SYS201501100600266741415271_DA/SYS201501100600266741415271_DA.021.png">，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí),恒有，所以，

所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.

考點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．