Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+1）x+1
（I）當(dāng)時，不等式f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（II）設(shè)H（x）=[f（x）+a-1]e^x，當(dāng)a＞-1且a≠0時，時求函數(shù)H（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

解：（I）①當(dāng)a=0時f（x）=-x+1，在上f（x）＞0一定成立
②當(dāng)a≠0時，當(dāng)a＞0時，二次函數(shù)y=f（x）的圖象開口向上，且與x軸有兩個交點（1，0）和要使f（x）＞0在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即0＜a≤1；
當(dāng)a＜0時，二次函數(shù)y=f（x）的圖象開口向下，且與x軸有兩個交點（1，0）和要使f（x）＞0在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即-2≤a≤0
綜合可得實數(shù)a的取值范圍是：-2≤a≤1．

（II）H（x）=[ax²-（a+1）x+a]e^x，

令H'（x）=0，解得x=，或x=-1
①當(dāng)a＞0時，則．當(dāng)x變化時，H'（x），H（x）的變化情況如下表：

所以函數(shù)H（x）在（-∞，-1），內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)．
函數(shù)H（x）在x=-1處取得極大值H（-1），
且H（-1）=（3a+1）e^-1函數(shù)H（x）在處取得極小值，且
②當(dāng)-1＜a＜0時，則，當(dāng)x變化時，H'（x），H（x）的變化情況如下表：

所以函數(shù)H（x）在，（-1，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，
在內(nèi)是增函數(shù)函數(shù)H（x）在x=-1處取得極大值H（-1），
且H（-1）=（3a+1）e-1函數(shù)H（x）在x=處取得極小值，且H
分析：（I）討論a，分布就①a=0，②a＞0，③a＜0三種情況求函數(shù)的最大值，要使f（x）＞0恒成立?f（x）_min＞0
（II）代入整理可得H（x）=[ax²-（a+1）x+a]e^x，對函數(shù)求導(dǎo)就①②③三種情況討論函數(shù)H（x）的單調(diào)性及求極值．
點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及判斷函數(shù)的單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間，但當(dāng)極值點中含有參數(shù)時，要對極值的大小討論，體現(xiàn)了分類討論的思想在解題中的應(yīng)用、