Question

給定實數(shù)a（a≠

1

2

），設(shè)函數(shù)f（x）=2x+（1-2a）ln（x+a）（x＞-a，x∈R），f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）的圖象為C₁，C₁關(guān)于直線y=x對稱的圖象記為C₂．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f′（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對于所有整數(shù)a（a≠-2），C₁與C₂是否存在縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)都是整數(shù)的公共點？若存在，請求出公共點的坐標(biāo)；若不若存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后再求出導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，并由此判斷函數(shù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用根的存在性定理進(jìn)行計算．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)g（x）=f′（x）=2+

1-2a

x+a

=

2x+1

x+a

，
則g′（x）=

2a-1

(x+a)2

，
當(dāng)a≥

1

2

時，函數(shù)y=f′（x）在區(qū)間（-∞，-a]、（-a，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＜

1

2

時，函數(shù)y=f′（x）在區(qū)間（-∞，-a]、（-a，+∞）上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)y=f′（x）的單調(diào)區(qū)間是（-∞，-a]、（-a，+∞）．
（Ⅱ）易知C₂對應(yīng)的函數(shù)為y=

1-ax

x-2

，
由

2x+1

x+a

=

1-ax

x-2

，
化簡可得（a+2）[x²+（a-2）x-1]=0，
∵a≠-2，
∴依題意知x²+（a-2）x-1=0的兩根均為整數(shù)，
由x²+（a-2）x-1=0，
有a=

1-x2

x

+2=2+

1

x

-x，
又

1

x

∈Z，
∴x=±1
∴a=2，
∴縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)都是整數(shù)的公共點是（1，1）與（-1，-1）．

點評：掌握函數(shù)求導(dǎo)的方法以及單調(diào)區(qū)間的判斷，熟悉根的存在性定理及其運用．