Question

下面的一組圖形為某一四棱錐S-ABCD的底面與側面。

（1）請畫出四棱錐S-ABCD的示意圖，是否存在一條側棱垂直于底面？如果存在，請給出證明；如果不存在，請說明理由；

（2）若SA面ABCD，E為AB中點，求證：面面

（3）求點D到面SEC的距離。

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】本題考查線面垂直、面面垂直定義，判定，性質．以及空間距離的求解．平面問題與空間問題相互轉化的思想方法，考查計算能力

（1）由 SA⊥AB，SA⊥AD 可得，存在一條側棱SA垂直于底面

（2）分別取SC、SD的中點G、F，可證AF∥EG．證明CD⊥AF，AF⊥SD，從而證明 AF⊥面SCD，故EG⊥面SCD，從而證得面SEC⊥面SCD．

（3）由面面垂直的性質定理，由A向平面SAC與平面SBD的交線作垂線，構造直角三角形解決點A到平面SBD的距離

解（1）存在一條側棱垂直于底面（如圖）

即SA底面ABCD………………3分

∵，且AB、AD是面ABCD內兩條相交直線

SA底面ABCD……………………5分

（2）分別取SC、SD的中點G、F，連GE、GF、FA，

則GF//EA,GF=EA,AF//EG

而由SA面ABCD得SACD，

又ADCD，CD面SAD，

又SA=AD,F是中點， 

 面SCD，即EG面SCD, 

面面…………10分

(3)作DHSC于H，

∵面SEC面SCD,DH面SEC,

DH之長即為點D到面SEC的距離，12分

在RtSCD中，

答：點D到面SEC的距離為…………14分