【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),(i)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若,求證: .

【答案】i,(ii)遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是;(證明見解析.

【解析】試題分析:)(i求出,求出的值可得切點(diǎn)坐標(biāo),求出的值,可得切線斜率,利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程;ii分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;先利用導(dǎo)數(shù)證明,,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)證明,則,從而可得結(jié)論.

試題解析(Ⅰ)當(dāng)時(shí), ,定義域?yàn)?/span>

i

所以切點(diǎn)坐標(biāo)為,切線斜率為

所以切線方程為

ii)令,

所以上單調(diào)遞減,且

所以當(dāng)時(shí),

所以當(dāng)時(shí),

綜上所述, 的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.

(Ⅱ)方法一:

,即

設(shè)

設(shè)

所以小于零恒成立

上單調(diào)遞減

因?yàn)?/span>

所以,

所以在上必存在一個(gè)使得

所以當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減

所以

因?yàn)?/span>

所以

因?yàn)?/span>,所以,

因?yàn)?/span>,所以恒成立

恒成立

綜上所述,當(dāng)時(shí),

方法二:

定義域

為了證明,即

只需證明,即

,得

,得

所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減

所以

,則

因?yàn)?/span>,所以

所以恒成立

所以

綜上所述,

即當(dāng)時(shí), .

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是:(1)求出處的導(dǎo)數(shù),即在點(diǎn) 出的切線斜率(當(dāng)曲線處的切線與軸平行時(shí),在 處導(dǎo)數(shù)不存在,切線方程為);(2)由點(diǎn)斜式求得切線方程.

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【題目】如圖一塊長方形區(qū)域ABCD,AD=2(km),AB=1(km).在邊AD的中點(diǎn)O處,有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈,其照射角∠EOF始終為,設(shè)∠AOE=,探照燈O照射在長方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為S.

(1)當(dāng)0時(shí),寫出S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式;

(2)若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個(gè)來回”(OEOA轉(zhuǎn)到OC,再回到OA,稱“一個(gè)來回”,忽略OEOAOC反向旋轉(zhuǎn)時(shí)所用時(shí)間),且轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小一定,設(shè)AB邊上有一點(diǎn)G,且∠AOG,求點(diǎn)G在“一個(gè)來回”中,被照到的時(shí)間.

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【題目】某地區(qū)工會(huì)利用 “健步行”開展健步走積分獎(jiǎng)勵(lì)活動(dòng)會(huì)員每天走5千步可獲積分30分(不足5千步不積分),每多走2千步再積20分(不足2千步不積分)記年齡不超過40歲的會(huì)員為類會(huì)員,年齡大于40歲的會(huì)員為類會(huì)員為了解會(huì)員的健步走情況,工會(huì)從兩類會(huì)員中各隨機(jī)抽取名會(huì)員,統(tǒng)計(jì)了某天他們健步走的步數(shù),并將樣本數(shù)據(jù)分為, , , , , , , 九組,將抽取的類會(huì)員的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖, 類會(huì)員的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布表圖、表如下所示).

的值;

從該地區(qū)類會(huì)員中隨機(jī)抽取名,設(shè)這名會(huì)員中健步走的步數(shù)在千步以上(含千步)的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

設(shè)該地區(qū)類會(huì)員和類會(huì)員的平均積分分別為,試比較的大。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論).

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【題目】如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東的方向即沿直線CB前往B處救援,則等于 ( )

A. B. C. D.

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1)若關(guān)于的方程的解集中恰有一個(gè)元素,求的值;

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3)梯形的全體構(gòu)成的集合;

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5)方程的解組成的集合;

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(2)求證:A'E⊥平面A'BC.

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