Question

如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為E（1，0），且AB與BC所在的直線方程分別為x+3y-5=0與ax-y+5=0．
（1）求AD所在的直線方程；
（2）求出長(zhǎng)方形ABCD的外接圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a=3，設(shè)AD所在的直線方程為3x-y+C=0，由E到BC的距離和E到AD的距離相等，能求出AD所在的直線方程．
（2）由

x+3y-5=0 3x-y+5=0

，得B（-1，2），從而得到|BE|=2

2

，由此能求出長(zhǎng)方形ABCD的外接圓的方程．

解答： 解：（1）∵ABCD為正方形，∴AB⊥BC，
∵長(zhǎng)方形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為E（1，0），
且AB與BC所在的直線方程分別為x+3y-5=0與ax-y+5=0．
∴a=3，…（2分）
由題意知AD∥BC，
∴設(shè)AD所在的直線方程為3x-y+C=0
∵長(zhǎng)方形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為E（1，0），
∴E到BC的距離和E到AD的距離相等，
∴

|3+5|

10

=

|3+C|

10

，解得C=-11，
∴AD所在的直線方程3x-y-11=0．…（6分）
（2）由

x+3y-5=0 3x-y+5=0

，得B（-1，2），…（8分）
∴|BE|=2

2

，
∴長(zhǎng)方形ABCD的外接圓以E為圓心以|BE|為半徑，
即（x-1）²+y²=8．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，考查長(zhǎng)方形的外接圓方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程的合理運(yùn)用．