Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
（1）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；
（2）求直線l被圓C截得的線段的最短長度以及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）把直線l的方程變形后，根據(jù)直線l恒過定點(diǎn)，得到關(guān)于x與y的二元一次方程組，求出方程組的解即為直線l恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出此點(diǎn)到圓心的距離d，發(fā)現(xiàn)d小于圓的半徑，得到此點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；
（2）由平面幾何知識可知，當(dāng)直線l與AC垂直時(shí)，所截取的線段最短，由圓心C和定點(diǎn)A的坐標(biāo)求出直線AC的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，求出直線l的斜率，由A的坐標(biāo)和求出的斜率寫出直線l的方程，再由A與C的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|AC|即為弦心距，根據(jù)圓的半徑，弦心距及弦的一半構(gòu)成的直角三角形，利用勾股定理即可求出此時(shí)的弦長．
解答：解：（1）由m（2x+y-7）+（x+y-4）=0知直線l恒過定點(diǎn)，
又，
∴直線l恒過定點(diǎn)A（3，1），
且（3-1）²+（1-2）²=5＜25⇒A（3，1）必在圓內(nèi)，
故直線l與圓恒有兩交點(diǎn)．
（2）∵圓心為C（1，2），定點(diǎn)為A（3，1）
∴
由平面幾何知識知，當(dāng)直線l與AC垂直時(shí)所截線段最短，此時(shí)k_l=2
∴l(xiāng)方程為：y-1=2（x-3）⇒2x-y-5=0，此時(shí)
∴最短弦長=
點(diǎn)評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，恒過定點(diǎn)的直線方程以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．第一問的關(guān)鍵是求出直線l恒過的A點(diǎn)坐標(biāo)，判定A在圓內(nèi)；第二問關(guān)鍵是根據(jù)平面幾何知識得到直線l與AC垂直時(shí)所截取的線段最短．