Question

8．已知拋物線C：y²=-4x．
（Ⅰ）已知點(diǎn)M在拋物線C上，它與焦點(diǎn)的距離等于5，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）直線l過定點(diǎn)P（1，2），斜率為k，當(dāng)k為何值時(shí)，直線l與拋物線：只有一個(gè)公共點(diǎn)；兩個(gè)公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知點(diǎn)M在拋物線C上，它與焦點(diǎn)的距離等于5，利用拋物線的定義，建立方程，即可求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）由方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-k+2}\\{{y^2}=-4x}\end{array}}\right.$可得：ky²+4y+4k-8=0，利用判別式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）點(diǎn)M在拋物線C上，設(shè)$C（-\frac{y^2}{4}，y）$，設(shè)焦點(diǎn)為F，$|CF|=|-\frac{y^2}{4}|+1=5$---（2分）
解得：y²=16，故點(diǎn)M（-4，4）或M（-4，-4）----------------------------（4分）
（Ⅱ）由題意設(shè)直線l的方程：y=kx-k+2
由方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-k+2}\\{{y^2}=-4x}\end{array}}\right.$可得：ky²+4y+4k-8=0---（1）----------（5分）
（1）當(dāng)k=0時(shí)，由（1）得y=2帶入y²=-4x，x=-1，
此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．---------------------------------------------------------（6分）
（2）當(dāng)k≠0時(shí)，（1）的判別式△=16-4k（4k-8）=-16（k²-2k-1）-------（7分）
當(dāng)△=0時(shí)，$k=1+\sqrt{2}$或$k=1-\sqrt{2}$，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；------（8分）
當(dāng)△＞0時(shí)，$1-\sqrt{2}＜k＜1+\sqrt{2}$，此時(shí)直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)；-----------（10分）
當(dāng)△＜0時(shí)，$k＞1+\sqrt{2}$或$k＜1-\sqrt{2}$，此時(shí)直線與拋物線沒有公共點(diǎn)．-----------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．