(2011•天津模擬)已知函數(shù)f(x)=(x2-3x+3)•ex
(Ⅰ)試確定t的取值范圍,使得函數(shù)f(x)在[-2,t]上為單調(diào)函數(shù);
(2)當(dāng)t>-2時(shí),判斷f(-2)和f(t)的大小,并說(shuō)明理由;
(3)求證:當(dāng)1<t<4時(shí),關(guān)于x的方程:
f(x)
ex
=
2
3
(t-1)2
在區(qū)間[-2,t]上總有兩個(gè)不同的解.
分析:(1)首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定t的取值范圍,
(2)運(yùn)用函數(shù)的極小值進(jìn)行證明,
(3)首先對(duì)關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn),然后利用零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判定.
解答:解:(1)因?yàn)閒′(x)=(2x-3)ex+(x2-3x+3)ex,
由f′(x)>0⇒x>1或x<0,
由f′(x)<0⇒0<x<1,
∴函數(shù)f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減,
要使函數(shù)f(x)在[-2,t]上為單調(diào)函數(shù),則-2<t≤0,
(2))①若-2<t≤0,則f(x)在[-2,t]上單調(diào)遞增,∴f(t)>f(-2);
②若0<t<1,則f(x)在[-2,0]上單調(diào)遞增,在[0,t]上單調(diào)遞減
又f(-2)=13e-2,f(1)=e,∴f(t)≥f(1)>f(-2);
③若t>1,則f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減
∴f(t)>f(1)>f(-2),
   綜上,f(t)>f(-2).
(3)證:∵
f′(x0)
ex0
=x
2
0
-x0
,∴
f′(x0)
ex0
=
2
3
(t-1)2
,即為x02-x0=
2
3
(t-1)2
,
令g(x)=x2-x-
2
3
(t-1)2
,從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明方程g(x)=x2-x-
2
3
(t-1)2
=0在[-2,t](1<t<4)上總有兩個(gè)不同的解
因?yàn)間(-2)=6-
2
3
(t-1)2=-
2
3
(t-4)(t+2)
,g(t)=t(t-1)-
2
3
(t-1)2
=
1
3
(t+2)(t-1)
,
所以當(dāng)1<t<4時(shí),g(-2)>0且g(t)>0,
但由于g(0)=-
4
3
(t-1)2
<0,所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且有兩解,
點(diǎn)評(píng):本題以函數(shù)為載體,考查利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的極值,同時(shí)考查了方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題,綜合性強(qiáng).
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(2011•天津模擬)設(shè)
OA
=(1,-2),
OB
=(a,-1),
OC
=(-b,0),a>0,b>0
,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若A、B、C三點(diǎn)共線,則
1
a
+
2
b
的最小值是( 。

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(2011•天津模擬)已知函數(shù)f(x)=sinωx-
3
cosωx(ω>0)的圖象與x軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于
π
2
,若將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移
π
6
個(gè)單位得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則y=g(x)是減函數(shù)的區(qū)間為( 。

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