Question

如圖，在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N、E、F分別是棱A₁B₁、A₁D₁、B₁C₁、C₁D₁的中點(diǎn)，AB=a.

(1)求證:平面AMN∥平面EFDB;

(2)求異面直線BE與MN之間的距離.

Answer 1

(1)證明:∵M(jìn)N∥EF,∴MN∥平面EFDB.

    又AM∥DF，

    ∴AM∥平面EFDB.而MN∩AM=M，

    ∴平面AMN∥平面EFDB.

(2)解：∵BE平面EFDB，MN平面AMN,

    且平面AMN∥平面EFDB,

    ∴BE與MN之間的距離等于兩平行平面之間的距離.

    作出這兩個(gè)平面與平面A₁ACC₁的交線AP、OQ，作OH⊥AP于H.

    ∵DB⊥平面A₁ACC₁，

    ∴DB⊥OH.

    而MN∥DB，

    ∴OH⊥MN.

    則OH⊥平面AMN.

    ∵A₁P=a,AP=a,

    設(shè)∠A₁AP=θ,則cosθ==,

    ∴OH=AO·sinθ=a·a=a.

    ∴異面直線BE與MN的距離是a.