Question

已知圓C：x²+y²+x-6y+3=0和直線(xiàn)l：x+2y+m=0交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求：
（Ⅰ）圓C的圓心坐標(biāo)與半徑；
（Ⅱ）m的值及直線(xiàn)l在y軸上的截距．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接把圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即可求出圓C的圓心坐標(biāo)與半徑；
（Ⅱ）先P，Q的坐標(biāo)，利用P，Q的坐標(biāo)是方程組

x2+y2+x-6y+3=0 x+2y+m=0

的解，消去x求出P，Q的縱坐標(biāo)之間的關(guān)系；再結(jié)合OP⊥OQ?x₁x₂+y₁y₂=0，即可求出m的值，進(jìn)而求出直線(xiàn)l在y軸上的截距．

解答：解：（Ⅰ）C：(x+

1

2

)2+(y-3)2=(

5

2

)2
圓C的圓心坐標(biāo)C(-

1

2

，3)，半徑r=

5

2

；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則P，Q的坐標(biāo)（x₁，y₁），（x₂，y₂）是方程組

x2+y2+x-6y+3=0 x+2y+m=0

的解，
消去x，得（2y+m）²+y²+（-2y-m）-6y+3=0
即5y²+4（m-2）y+m²-m+3=0
則

△=16(m-2)2-20(m2-m+3)=-4(m2+11m-1)＞0 y1+y2=- 4 5 (m-2) y1y2= 1 5 (m2-m+3)

因?yàn)镺P⊥OQ?x₁x₂+y₁y₂=0
又  x₁x₂+y₁y₂
=（2y₁+m）（2y₂+m）+y₁y₂=5y₁y₂+2m（y₁+y₂）+m²
=m2-m+3+2m[-

4

5

(m-2)]+m2=

1

5

(2m2+11m+15)=0
即（m+3）（2m+5）=0，
解得：m=-3，m=-

5

2

此時(shí)△＞0
又因?yàn)橹本�(xiàn)l在y軸上的截距是-

1

2

m，即

3

2

或

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與圓的方程的應(yīng)用．在求圓的圓心坐標(biāo)與半徑時(shí)，常用做法是把圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式．