Question

9．已知正三棱錐A-BCD的外接球半徑R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，P，Q分別是AB，BC上的點，且滿足$\frac{AP}{PB}$=$\frac{CQ}{QB}$=5，DP⊥PQ，則該正三棱錐的高為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 將正三棱錐A-BCD補成一個正方體，則正方體的體對角線就是其外接直徑，由正方體的性質(zhì)知正方體的體對角線的三分之一即為該正三棱錐的高，由此能求出該正三棱錐的高．

解答 解：∵正三棱錐中對棱互相垂直，∴AC⊥BD，
∵P，Q分別是AB，BC上的點，且滿足$\frac{AP}{PB}$=$\frac{CQ}{QB}$=5，
∴PQ∥AC，∵DP⊥PQ，∴DP⊥AC，
∴AC⊥平面ABD，
又∵該三棱錐是正三棱錐，∴正三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱相等且互相垂直，
將正三棱錐A-BCD補成一個正方體，則正方體的體對角線就是其外接直徑，
故2R=$\sqrt{3}$，
由正方體的性質(zhì)知正方體的體對角線的三分之一即為該正三棱錐的高，
該正三棱錐的高為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查正三棱錐的高的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．