選修4-1：幾何證明選講
如圖設M為線段AB中點，AE與BD交于點C∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，EM交BD于G．
（1）寫出圖中三對相似三角形，并對其中一對作出證明；
（2）連接FG，設α=45°，AB=4
2
，AF=3，求FG長．
分析：（1）根據(jù)已知條件，∠DME=∠A=∠B=α，結合圖形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，AMF∽△BGM；
（2）根據(jù)相似三角形的性質，推出BG的長度，依據(jù)銳角三角函數(shù)推出AC的長度，即可求出CG、CF的長度，繼而推出FG的長度．
解答：解：（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM，…（3分）
∵∠AMD=∠B+∠D，∠BGM=∠DMG+∠D
又∠B=∠A=∠DME=α
∴∠AMF=∠BGM，
∴△AMF∽△BGM，…（5分）
（2）連接FG，
由（1）知，△AMF∽△BGM，
BG
AM
=
BM
AF
，BG=
8
3

∠α=45°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
AB=4
2
，AC=BC=4，CF=AC-AF=1，
CG=4-
8
3
=
4
3
，
∴由勾股定理得FG=
5
3
．…（10分）
點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質、解直角三角形、等腰三角形的性質，解題的關鍵找到相似的三角形，根據(jù)其性質求出BG、AC的長度．
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)選修4-1：幾何證明選講
如圖，圓O的直徑AB=10，弦DE⊥AB于點H，HB=2．
（1）求DE的長；
（2）延長ED到P，過P作圓O的切線，切點為C，若PC=2
5
，求PD的長．

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過點D引割線交⊙O于B，C兩點，求證：∠DPB=∠DCP．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=
12
2x
的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應的一個特征向量．
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中，圓C的方程為ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)，以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為
x=t
y=1+2t
（t為參數(shù)），判斷直線l和圓C的位置關系．
D．選修4-5：不等式選講
求函數(shù)y=
1-x
+
4+2x
的最大值．

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選修4-1：幾何證明選講
自圓O外一點P引圓的一條切線PA，切點為A，M為PA的中點，過點M引圓O的割線交該圓于B、C兩點，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．

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（2012•徐州模擬）選修4-1：幾何證明選講
如圖，直線AB經(jīng)過圓上O的點C，并且OA=OB，CA=CB，圓O交于直線OB于E，D，連接EC，CD，若tan∠CED=
12
，圓O的半徑為3，求OA的長．

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（2013•南京二模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，圓O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長BC到點D，使得CD=AC，連結AD交圓O于點E，連結BE與AC交于點F，求證：AE2=EF•BE．

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