Question

拋物線C：y²=8x的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P斜率k為正的直線交C于兩點(diǎn)A、B，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則k=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知條件知點(diǎn)P（-2，0），過點(diǎn)P斜率k為正的直線：y=k（x+2）交C于兩點(diǎn)A（x₁，2

2x1

）、B（x₂，2

2x2

），把y=k（x+2）代入y²=8x，解得x=

4-2k2±4 1-k2

k2

，由此能求出k的值．

解答： 解：拋物線C：y²=8x的準(zhǔn)線：x=-2與x軸相交于點(diǎn)P（-2，0），
過點(diǎn)P斜率k為正的直線：y=k（x+2）交C于兩點(diǎn)A（x₁，2

2x1

）、B（x₂，2

2x2

），
C的焦點(diǎn)為F，則|FA|=x₁+2，|FB|=x₂+2，
把y=k（x+2）代入y²=8x，并整理，得：k²x²+（4k²-8）x+4k²=0，
解得x=

4-2k2±4 1-k2

k2

，
∵|FA|=2|FB|，∴x₁+2=2（x₂+2），x₁=2x₂+2，

4-2k2+4 1-k2

k2

=2•

4-2k2-4 1-k2

k2

+2，
兩邊都乘以k²，得4-2k²+4

1-k2

=8-4k²-8

1-k2

+2k²，
化簡得

1-k2

=

1

3

，
平方得1-k²=

1

9

，∵k＞0，∴k=

2 2

3

．
故答案為：

2 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的斜率的求法，是中檔題，計(jì)算量大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，細(xì)心解答，避免出現(xiàn)計(jì)算上的低級(jí)錯(cuò)誤．