已知x∈[
1
27
,
1
9
]
,函數(shù)f(x)=log3
x
27
×log33x

(1)求函數(shù)f(x)最大值和最小值;
(2)若方程f(x)+m=0有兩根α,β,試求αβ的值
分析:(1)將函數(shù)變形f(x)=(log3x-3)(log3x+1)=(log3x)2-2log3x-3,令log3x=t,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解決.
(2)方程f(x)+m=0有兩根α,β,令log3x=t,則t2-2t-3+m=0也有兩根,再用韋達(dá)定理求解.
解答:解:(1)f(x)=(log3x-3)(log3x+1)=(log3x)2-2log3x-3
令log3x=t,由x∈[
1
27
,
1
9
]
得,t∈[-3,-2]
∴y=t2-2t-3,t∈[-3,-2]
當(dāng)t=-3時(shí),ymax=12
當(dāng)t=-2時(shí),ymin=5
(2)(log3x)2-2log3x-3+m=0,有兩個(gè)根α、β
令log3x=t,則t2-2t-3+m=0也有兩根,不妨設(shè)t1=log3α,t2=log3β
則t1+t2=log3α+log3β=log3(αβ)=2
∴αβ=9
點(diǎn)評(píng):本題主要考查一般函數(shù)通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)解決問(wèn)題的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

計(jì)算:
(1)已知 a3x=
1
27
,求 
a2x+a-2x
ax+a-x
的值.
(2)
log
81
2
3
-
log
16
2
3
+
log
20
2
3
-
log
30
2
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(ax)=-x2+2x+2(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若a=2,x∈[
1
4
,16]
,求f(x)的值域;
(3)若x∈[
1
27
,3]
,是否存在實(shí)數(shù)a的值,使得f(x)的值域?yàn)閇-1,3],若存在,求出a的取值的集合;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知x∈[
1
27
,
1
9
]
,函數(shù)f(x)=log3
x
27
×log33x

(1)求函數(shù)f(x)最大值和最小值;
(2)若方程f(x)+m=0有兩根α,β,試求αβ的值

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

計(jì)算:
(1)已知 a3x=
1
27
,求 
a2x+a-2x
ax+a-x
的值.
(2)
log81
2
3
-
log16
2
3
+
log20
2
3
-
log30
2
3

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