Question

6．如圖所示，△ABC中，D為AC的中點，AB=2，BC=$\sqrt{7}$，∠A=$\frac{π}{3}$．
（1）求cos∠ABC的值；
（2）求BD的值．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中利用正弦定理可求sinC，利用大邊對大角可得C為銳角，利用同角三角函數基本關系式可求cosC，利用兩角差的余弦函數公式即可計算得解cos∠ABC的值．
（2）由已知在△ABC中，利用余弦定理可求AC，進而在△ABD中，利用余弦定理可求BD．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵在△ABC中，$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}$，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinC=$\frac{ABsinA}{BC}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，由BC＞AB，可得：A＞C，C為銳角，
∴cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，
∴cos∠ABC=cos（$\frac{2π}{3}$-C）=cos$\frac{2π}{3}$cosC+sin$\frac{2π}{3}$sinC=$\frac{\sqrt{7}}{14}$．（6分）
（2）∵AB=2，BC=$\sqrt{7}$，cos∠ABC=$\frac{\sqrt{7}}{14}$．
∴在△ABC中，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC=9，可得：AC=3，
∴在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB×ADcosA=$\frac{13}{4}$，
∴BD=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，大邊對大角，同角三角函數基本關系式，兩角差的余弦函數公式，余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．