Question

10．已知a=${∫}_{0}^{π}$$\frac{3}{2}$sinxdx，若二項式（ax-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式中各項系數(shù)之和為256．
（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；
（2）求展開式中的常數(shù)項．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)定積分的計算求出a的值，根據(jù)二項式系數(shù)之和為256求得n=8，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為第5項，根據(jù)通項公式即可求出．
（Ⅱ）在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得展開式中的常數(shù)項．

解答 解：（Ⅰ）a=${∫}_{0}^{π}$$\frac{3}{2}$sinxdx=-$\frac{3}{2}$cosx|${\;}_{0}^{π}$=-$\frac{3}{2}$（-1-1）=3，
∵二項式（3x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式中各項系數(shù)之和為256，
∴2ⁿ=256，
∴n=8，
∴展開式的通項公式為 T_r+1=（-1）^rC₈^r3^8-r•${x}^{8-\frac{4r}{3}}$．
∴它的二項式系數(shù)最大的項為第五項，即T₅=（-1）⁴C₈⁴3^8-4•${x}^{\frac{8}{3}}$=5670${x}^{\frac{8}{3}}$；
（Ⅱ）令8-$\frac{4r}{3}$=0，解得r=6，
∴展開式中的常數(shù)項（-1）⁶C₈⁶3^8-6=252．

點評 本題主要考查定積分的計算，二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．