Question

18．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F₂（1，0），點(diǎn)P（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)E，F(xiàn)為橢圓C上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OE，OF的斜率之積為-$\frac{1}{2}$．求證：三角形OEF的面積為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F₂（1，0），點(diǎn)P（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）在橢圓C上，建立方程，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線OE，OF的斜率之積為-$\frac{1}{2}$，表示出三角形OEF的面積，即可證明三角形OEF的面積為定值．

解答 （Ⅰ）解：因?yàn)辄c(diǎn)$P（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$在橢圓C上，橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦點(diǎn)F₂（1，0），
所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{1^2}{a^2}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1\\{a^2}-{b^2}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=2\\{b^2}=1\end{array}\right.$，
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（5分）
（Ⅱ）證明：當(dāng)直線EF斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為l：y=kx+m，E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}\end{array}\right.$，…（7分）${y_1}{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$=$\frac{{{m^2}-2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$
由${k_{OE}}•{k_{OF}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{1}{2}$得$\frac{{\frac{{{m^2}-2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}}}{{\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}}}=-\frac{1}{2}$，即2m²=2k²+1，…（8分）
原點(diǎn)到直線EF的距離為$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$
所以${S_{△OEF}}=\frac{1}{2}|{EF}|d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$=$\frac{|m|}{2}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{|m|}{2}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
=$\frac{|m|}{2}\sqrt{{{（-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}）}^2}-4×\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}}$=$\frac{|m|}{2}\sqrt{\frac{{16{k^2}{m^2}-4（2{m^2}-2）（1+2{k^2}）}}{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}}$=$\frac{|m|}{2}\sqrt{\frac{{8（1+2{k^2}-{m^2}）}}{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}}=\frac{|m|}{2}\sqrt{\frac{{8（2{m^2}-{m^2}）}}{{4{m^4}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
當(dāng)直線EF斜率不存在時(shí)，${k_{OF}}•{k_{OF}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{1}{2}$，x₁=x₂，y₁=-y₂，所以${k_{OE}}•{k_{OF}}=-\frac{{{y_1}^2}}{{{x_1}^2}}=-\frac{1}{2}$，
又$\frac{x_1^2}{2}+y_1^2=1$，解得$x_1^2=1，y_1^2=\frac{1}{2}$，${S_{OEF}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
所以三角形OEF的面積為定值．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．