【題目】如圖，在平行四邊形中，，，現(xiàn)沿對角線將折起，使點A到達點P，點M，N分別在直線，上，且A，B，M，N四點共面.

（1）求證：；

（2）若平面平面，二面角平面角大小為，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)余弦定理，可得，利用//，可得//平面，然后利用線面平行的性質定理，//，最后可得結果.

（2）根據(jù)二面角平面角大小為，可知N為的中點，然后利用建系，計算以及平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，可得結果.

（1）不妨設，則，

在中,

，

則，

因為，

所以，因為//，

且A、B、M、N四點共面，所以//平面.

又平面平面，所以//.

而，.

（2）因為平面平面，且，

所以平面，，

因為，所以平面，，

因為，平面與平面夾角為，

所以，在中，易知N為的中點，

如圖，建立空間直角坐標系，

則，，，

，，

，，，

設平面的一個法向量為，

則由，

令，得.

設與平面所成角為，

則.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】近年來，隨著國家綜合國力的提升和科技的進步，截至2018年底，中國鐵路運營里程達13,2萬千米，這個數(shù)字比1949年增長了5倍；高鐵運營里程突破2.9萬千米，占世界高鐵運營里程的60%以上，居世界第一位下表截取了2012--2016年中國高鐵密度的發(fā)展情況（單位：千米/萬平方千米）.

年份

2012

2013

2014

2015

2016

年份代碼

1

2

3

4

5

高鐵密度

9.75

11.49

17.14

20.66

22.92

已知高鐵密度y與年份代碼x之間滿足關系式（為大于0的常數(shù)）若對兩邊取自然對數(shù)，得到，可以發(fā)現(xiàn)與線性相關.

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關于x的回歸方程（保留到小數(shù)點后一位）；

（2）利用（1）的結論，預測到哪一年高鐵密度會超過30千米/平方千米.

參考公式設具有線性相關系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)為，

則回歸方程的系數(shù)：，.

參考數(shù)據(jù)：，，，，，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】過拋物線C：x2＝4y的準線上任意一點P作拋物線的切線PA，PB，切點分別為A，B，則A點到準線的距離與B點到準線的距離之和的最小值是（ ）

A.7B.6C.5D.4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，點的極坐標為，直線的極坐標方程為，且過點，曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)).

(Ⅰ)求曲線上的點到直線的距離的最大值；

(Ⅱ)過點與直線平行的直線與曲線 交于兩點，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，左頂點為，左焦點為，點在橢圓上，直線與橢圓交于， 兩點，直線， 分別與軸交于點， ．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）以為直徑的圓是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出定點的坐標；若不經(jīng)過，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某親子公園擬建議廣告牌，將邊長為米的正方形ABCD和邊長為1米的正方形AEFG在A點處焊接，AM、AN、GM、DN均用加強鋼管支撐，其中支撐鋼管GM、DN垂直于地面于M點和N點，且GM、DN、MN長度相等不計焊接點大小

若時，求焊接點A離地面距離；

若記，求加強鋼管AN最長為多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某種產(chǎn)品的質量以其質量指標值衡量，并依據(jù)質量指標值劃分等級如表：

質量指標值m

25≤m＜35

15≤m＜25或35≤m＜45

0＜m＜15或45≤m＜65

等級

一等品

二等品

三等品

某企業(yè)從生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取100件產(chǎn)品作為樣本，檢測其質量指標值，得到下圖的率分布直方圖．（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）

（1）該企業(yè)為提高產(chǎn)品質量，開展了質量提升月”活動，活動后再抽樣檢測，產(chǎn)品三等品數(shù)Y近似滿足Y～H（10，15，100），請測算“質量提升月”活動后這種產(chǎn)品的“二等品率“（一、二等品其占全部產(chǎn)品百分比）較活動前提高多少個百分點？

（2）若企業(yè)每件一等品售價180元，每件二等品售價150元，每件三等品售價120元，以樣本中的頻率代替相應概率，現(xiàn)有一名聯(lián)客隨機購買兩件產(chǎn)品，設其支付的費用為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】中國古代儒家要求學生掌握六種基本才藝：禮、樂、射、御、書、數(shù)，簡稱“六藝”,某高中學校為弘揚“六藝”的傳統(tǒng)文化，分別進行了主題為“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六場傳統(tǒng)文化知識競賽，現(xiàn)有甲、乙、丙三位選手進入了前三名的最后角逐,規(guī)定：每場知識競賽前三名的得分都分別為且；選手最后得分為各場得分之和，在六場比賽后，已知甲最后得分為分，乙和丙最后得分都是分，且乙在其中一場比賽中獲得第一名，下列說法正確的是( )

A. 乙有四場比賽獲得第三名

B. 每場比賽第一名得分為

C. 甲可能有一場比賽獲得第二名

D. 丙可能有一場比賽獲得第一名

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中，，分別為，的中點．

（1）證明：直線平面；

（2），，，，求平面和平面所成的角（銳角）的余弦值．

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