Question

【題目】過拋物線C：x2＝4y的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)P作拋物線的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，則A點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與B點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之和的最小值是（ ）

A.7B.6C.5D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

設(shè)，A（x1，y1），B（x2，y2），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線AB的方程，點(diǎn)P的坐標(biāo)代入兩切線方程即可觀察求出直線AB的方程，確定直線AB恒過拋物線焦點(diǎn)可知距離之和為AB，數(shù)形結(jié)合知當(dāng)AB為通徑時(shí)取最小值2p.

設(shè)拋物線C：x2＝4y的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)．

點(diǎn)P作拋物線的切線PA，PB，設(shè)切點(diǎn)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），

由A，B是拋物線上的點(diǎn)知，

x2＝4y，

所以切線PA的方程為：，

切線PB方程為，

因?yàn)辄c(diǎn)在切線PA，PB上，

所以直線AB的方程為mx＝2（y﹣1）．

故直線AB過定點(diǎn)（0，1），（即AB恒過拋物線焦點(diǎn)），

則A點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與B點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之和為AB，

數(shù)形結(jié)合知當(dāng)AB為通徑時(shí)最小，最小值是2p＝4．

故選：D．