Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)P（3，f（3））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）與g（x）=

1

2

x²-ax+

a2

2

的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=2代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后得到f′（3）的值，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，由直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（Ⅱ）構(gòu)造輔助函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），求其導(dǎo)函數(shù)，解得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，對(duì)a分類后求出函數(shù)的極值，由極大值小于0且極小值大于0求解實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）a=2時(shí)，f(x)=

1

3

x3-x2，
∴f'（x）=x²-2x，f'（3）=3，
又點(diǎn)P（3，0），
∴過(guò)點(diǎn)P的切線方程為：3x-y-9=0；
（Ⅱ）設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=

x3

3

-

a+1

2

x2+ax-

a2

2

．
h'（x）=x²-（a+1）x+a=（x-a）（x-1），
令h'（x）=0，得x=a或x=1．
（�。┊�(dāng)a=1時(shí)，h′（x）=（x-1）²≥0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，
函數(shù)f（x）與g（x）的圖象不可能有三個(gè)不同的交點(diǎn)；
（ⅱ）當(dāng)a＜1時(shí)，

x	（-∞，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↗	極大- a3 6	↘	極小- a2 2 + a 2 - 1 6	↗

使得函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則方程h（x）=0有三個(gè)不同的實(shí)根．
∴

- a2 2 + a 2 - 1 6 ＜0 - a3 6 ＞0

，得a＜0；
（ⅲ）當(dāng)a＞1時(shí)，

x	（-∞，1）	1	（1，a）	a	（a，+∞）
h'（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↗	極大- a2 2 + a 2 - 1 6	↘	極小- a3 6	↗

由于極大值-

a2

2

+

a

2

-

1

6

＜0恒成立，故此時(shí)不能有三個(gè)解．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法，訓(xùn)練了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．