Question

各項均為正數(shù)的數(shù)列{x_n}對一切n∈N^*均滿足x_n+

1

xn+1

＜2．證明：
（1）x_n＜x_n+1；
（2）1-

1

n

＜x_n＜1．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）通過不等式的基本性質(zhì)，化簡證明即可．
（2）利用數(shù)學歸納法的證明步驟，結(jié)合放縮法證明即可．

解答： 解：（1）因為x_n＞0，xn+

1

xn+1

＜2，
所以0＜

1

xn+1

＜2-xn，
所以xn+1＞

1

2-xn

，且2-x_n＞0．
因為

1

2-xn

-xn=

x 2 n -2xn+1

2-xn

=

(xn-1)2

2-xn

≥0．
所以

1

2-xn

≥xn，
所以xn≤

1

2-xn

＜xn+1，即x_n＜x_n+1．                …4分
（注：用反證法證明參照給分）
（2）下面用數(shù)學歸納法證明：xn＞1-

1

n

．
①當n=1時，由題設x₁＞0可知結(jié)論成立；
②假設n=k時，xk＞1-

1

k

，
當n=k+1時，由（1）得，xk+1＞

1

2-xk

＞

1

2-(1- 1 k )

=

k

k+1

=1-

1

k+1

．
由①，②可得，xn＞1-

1

n

．                     …7分
下面先證明x_n≤1．
假設存在自然數(shù)k，使得x_k＞1，則一定存在自然數(shù)m，使得xk＞1+

1

m

．
因為xk+

1

xk+1

＜2，xk+1＞

1

2-xk

＞

1

2-(1+ 1 m )

=

m

m-1

，xk+2＞

1

2-xk+1

＞

1

2-(1+ 1 m-1 )

=

m-1

m-2

，…，xk+m-1＞

m-(m-2)

m-(m-1)

=2，
與題設xk+

1

xk+1

＜2矛盾，所以，x_n≤1．
若x_k=1，則x_k+1＞x_k=1，根據(jù)上述證明可知存在矛盾．
所以x_n＜1成立．                                …10分．

點評：本題考查數(shù)列與不等式的證明方法，數(shù)學歸納法的應用，也可以利用反證法證明．