Question

在正四面體ABCD中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，則異面直線AE與CF所成角的余弦為（　�。�

• A、

  1

  3

• B、

  1

  2

• C、

  2

  3

• D、

  6

  3

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間角

分析：連接ED，取ED的中點(diǎn)M，連接CM、FM，則FM∥AE，且FM=

1

2

AE，所以異面直線AE與CF所成的角即為∠CFM或其補(bǔ)角，然后在△MFC中，借助余弦定理解出所求的角．

解答： 解：如圖所示：設(shè)正四面體ABCD的棱長為a，
連接ED，取ED的中點(diǎn)M，連接CM、FM，則FM∥AE，且FM=

1

2

AE，
∴異面直線AE與CF所成的角即為∠CFM或其補(bǔ)角，
∵AE=CF=

3

2

a，
∴FM=

3

4

a
在Rt△MEC中，EC=

1

2

a，EM=

3

4

a，
∴MC=

7

4

a
∴cos∠CFM=

CF2+FM2-MC2

2×CF×FM

=

2

3

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了異面直線所成的角，空間中的線面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力．求異面直線所成的角，一般有兩種方法，法一幾何法，即利用“作、證、求”求得角；法二向量法，即利用向量的數(shù)量積公式求向量的夾角的余弦值．