Question

7．求漸近線方程3x±4y=0，焦點(diǎn)為橢圓$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1在x軸上的一對(duì)頂點(diǎn)的雙曲線方程．

Answer 1

分析 求出橢圓在x軸上的一對(duì)頂點(diǎn)，可得雙曲線的焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），由a，b，c的關(guān)系和漸近線方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到雙曲線的方程．

解答 解：焦點(diǎn)為橢圓$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1在x軸上的一對(duì)頂點(diǎn)，
可得雙曲線的焦點(diǎn)為（±$\sqrt{10}$，0），
設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
則a²+b²=10，
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
可得$\frac{a}$=$\frac{3}{4}$，
解方程可得a=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，b=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
即有雙曲線的方程為$\frac{5{x}^{2}}{32}$-$\frac{5{y}^{2}}{18}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)和雙曲線的漸近線方程，以及基本量的關(guān)系，考查方程思想，屬于基礎(chǔ)題．