Question

某校學(xué)生會(huì)組織部分同學(xué)，用“10分制”隨機(jī)調(diào)查“陽(yáng)光”社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取12名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)（以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉）：
（1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
（2）若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸福”．求從這12人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極幸�！钡母怕�；
（3）以這12人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選2人，記ξ表示抽到“極幸福”的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,莖葉圖,古典概型及其概率計(jì)算公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由莖葉圖能求出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)．
（2）利用互斥事件加法公式能求出至多有1人是“極幸�！钡母怕剩�
（3）ξ的可能取值為0，1，2．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）由莖葉圖知這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為：86，中位數(shù)：87．…2分
（2）設(shè)A_i表示所取3人中有i個(gè)人是“極幸�！�，
至多有1人是“極幸�！庇洖槭录嗀，
則P(A)=P(A0)+P(A1)=

C 3 9

C 3 12

+

C 1 3 C 2 9

C 3 12

=

48

55

．…6分
（3）ξ的可能取值為0，1，2．
P(ξ=0)=(

3

4

)2=

9

16

，
P(ξ=1)=

C

1 2

×

1

4

×

3

4

=

3

8

，
P(ξ=2)=(

1

4

)2=

1

16

，….10分
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	9 16	3 8	1 16

E(ξ)=0×

9

16

+1×

3

8

+2×

1

16

=

1

2

．…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查眾數(shù)、中位數(shù)的求法，考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意莖葉圖的合理運(yùn)用．