Question

如圖所示，已知邊長為2的正方形ABCD所在平面外有一點P，PA⊥平面ABCD，且PA=2，E是PC的中點．
（1）證明：平面BDE⊥平面PAC；
（2）求：BE與平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出AC⊥BD，BD⊥PA，由經(jīng)能證明平面BDE⊥平面PAC．
（2）連結(jié)OE，由已知條件推導(dǎo)出∠EBO是BE與平面ABCD所成角，由此能求出BE與平面ABCD所成角的余弦值．

解答： （1）證明：∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA，
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC．
（2）解：連結(jié)OE，∵ABCD是邊長為2的正方形，
∴O是AC中點，又E是PC的中點，
∴OE∥PA，且OE=

1

2

PA=1，
∵PA⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，
∴∠EBO是BE與平面ABCD所成角，
∵BO=

1

2

4+4

=

2

，∴BE=

2+1

=

3

，
∴cos∠EBO=

2

3

=

6

3

．
∴BE與平面ABCD所成角的余弦值為

6

3

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成有的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．