Question

在（1-x）⁵（1+x+x²）⁴的展開(kāi)式中，x⁷的系數(shù)為

-6

．

Answer 1

分析：先利用完全平方公式將：（1-x）⁵（1+x+x²）⁴化為（1-x）（1-x³）⁴，將已知的系數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（1-x³）⁴的系數(shù)問(wèn)題，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，求出系數(shù)．

解答：解：（1-x）⁵（1+x+x²）⁴=（1-x）（1-x³）⁴
=（1-x³）⁴-x（1-x³）⁴
∴x⁷的系數(shù)為（1-x³）⁴的x⁷的系數(shù)減去（1-x³）⁴的x⁶的系數(shù)
∵（1-x³）⁴的通項(xiàng)為C₄^r（-x³）^r=（-1）^rC₄^rx^3r
∴（1-x³）⁴展開(kāi)式不含x⁷項(xiàng)，x⁶的系數(shù)C₄²=6
∴（1-x）⁵（1+x+x²）⁴的展開(kāi)式中，x⁷的系數(shù)為-6
故答案為：-6

點(diǎn)評(píng)：解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題，一般利用的工具是二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式．