Question

已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，其中F₂也是拋物線的焦點(diǎn)，M是C₁與C₂在第一象限的交點(diǎn)，且．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）已知點(diǎn)A（1，m）（m＞0）是橢圓C₁上一點(diǎn)，E，F(xiàn)是橢圓C₁上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，探求直線EF的斜率是否為定值？如果是，求出定值；反之，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（I）設(shè)M（x₁，y₁），
由拋物線的方程，得焦點(diǎn)（1，0），
∴F₂（1，0），又．
由拋物線定義，，∴，
∵，∴，∴，
∵M(jìn)點(diǎn)C₁上，∴，
∴9a²-37a²+4=0，∴a²=4或．
而，應(yīng)舍去．
∴a²=4，b²=3，
∴橢圓C₁的方程為．
（II）把A（1，m）（m＞0）代人橢圓的方程得，解得，∴A．
設(shè)直線AE的方程為，
代人橢圓方程得，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則，
可得，
把上面的斜率k換成-k即可得出
，
故為定值．
分析：（I）利用拋物線的定義及其性質(zhì)可得焦點(diǎn)F₂、交點(diǎn)M的坐標(biāo)，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代人橢圓的方程及a²=b²+c²即可得出；
（II）把A（1，m）（m＞0）代人橢圓的方程得，解得，得到A．設(shè)直線AE的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到坐標(biāo)；把k換成-k即可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用斜率公式求得直線EF的斜率．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，直線與曲線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、直線的斜率計(jì)算公式，需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力．