Question

如圖，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=CD=4，求：
（1）四邊形ABCD的面積；
（2）圓O的直徑．

Answer 1

考點(diǎn)：圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定

專題：直線與圓

分析：（1）首先利用余弦定理求出B的余弦，進(jìn)而求出B的正弦，然后利用三角形ABC和三角形ADC的面積的和，求出四邊形ABCD的面積即可；
（2）首先利用余弦定理求出AC的值是多少，然后根據(jù)圓O的直徑與AC的關(guān)系，求出圓O的直徑是多少即可．

解答： 解：（1）連接AC，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB
=2²+6²-2×2×6•cosB
=40-24cosB
又AC²=AD²+DC²-2AD•DC•cosD
=4²+4²-2×4×4•cosD
=32-32cosD
=32+32cosB
∴40-24cosB=32+32cosB
∴56cosB=8
∴cosB=

1

7

⇒sinB=

4

7

3

∴S=

1

2

AB•BC•sinB+

1

2

AD•DC•sinD=8

3

（2）AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=

256

7

，
∴AC=

16

7

7

，
所以直徑=2R=

AC

sinB

=

4

3

21

，
即圓O的直徑是

4

3

21

．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了三角形的面積公式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．